为何要进行模态测试与分析？
了解物理世界动态特性的基本规律，需要从模态测试与分析开始，模态测试和分析提供了将一个振动对象的任意振动解耦成多个单自由度振动并分别进行研究的方式，这使振动对象的振动控制或振动预测变得可控。
通过模态测试和分析，可以实现在已知时域信号的情况下，通过求解获得模态参数，了解系统的固有特性，对振动进行针对性的控制，也可以在已知模态参数的情况下，通过求解预测响应，评估系统可能的振动形态，这使得模态测试与识别既拥有关键的工程实用价值与理论指导价值，又扮演着连接物理世界与动态性能模型的 “桥梁”。
模态测试和分析的理论基础，来源于多自由度振动基本方程的推演，多自由度振动方程如下所示：
公式1
从数学模型来说，求解公式1可以得到系统模态的三个参数，包括模态频率、模态阻尼、模态振型。
ATOM测试系统的模态频率和模态阻尼求解
对公式1进行拉普拉斯变换，求解频响函数并解频响函数的特征方程，得到特征根，特征根也称为模态极点，用符号表示第个特征根，特征根（模态极点）的表达式如下所示：
公式2
公式2中：是特征根（模态极点）的实部，是特征根（模态极点）的虚部，实部和虚部的计算公式分别为：
实部：
公式3
虚部：
公式4
以上公式中是无阻尼固有频率，通过无阻尼自由振动方程解出。
从公式3可以解出模态阻尼；
从公式4中，可以解出带阻尼系统的实际模态频率。是有阻尼系统的实际固有频率，反应真实的动态特性，在系统阻尼很小的时候，是和差别很小，可以视为等同，但当系统阻尼比较大时，是和会有明显的区别，因此在实际的应用场景中，用虚部才能准确算出系统真实的固有频率。
系统振型的求解
通过公式1可以解得系统的模态振型矩阵:
公式5
为第阶模态向量，即第阶模态的振动形状，体现在这阶模态下，各物理自由度（各位置）运动的相对比例关系。
在已知一个振动对象模态向量的基础上，任意振动均可以用向量分解的方式投影到模态空间中模态向量所对应的自由度上，每个自由度上的投影大小即是这阶模态向量自由度上的坐标，称为模态向量，用表示，将所有自由度上的投影叠加后，就得到振动对象的实际振动，变换如下公式所示：
公式6
式中：
：时域信号，如位移、振动响应等随时间变化的物理量;
：求和运算，表示信号由个 “模态分量” 叠加而成;
：第阶模态向量，即第阶模态的振动形状，体现各物理自由度运动的相对比例关系;
：第阶模态坐标，第阶模态的振动幅度有多大、如何随时间变化；
：模态振型矩阵，由各阶模态向量按列或行组成的矩阵，整合了系统所有模态的空间特性;
：模态坐标向量，由所有组成的列向量，整合了各阶模态的时间变化特性。
公式6建立了物理坐标与模态坐标的变换关系 ，将物理坐标中的振动映射至模态空间中的模态向量上，把物理振动变成了各阶单自由度模态振动的叠加，这样就实现了物理振动与模态振型之间的分解与叠加，如下图示例：
从公式6中，可以得出结论：在已知时域信号的情况下，通过求解可以获得模态参数，了解系统的固有特性，也可以在已知模态参数的情况下，通过求解预测响应，评估系统可能的振动形态，这是模态分析在应用上的价值，下表是模态测试和分析的一些典型工程应用场景：
表1 模态测试和识别的作用
作用 | 说明 | 应用场景示例 |
弥补理论分析局限 | 仅依靠有限元仿真等理论计算，难以精准获取结合部阻尼、复杂边界条件等关键参数，模态测试可提供实际结构的动态数据，验证理论计算精度，保障分析结果的可靠性。 | a)机械零件（如齿轮箱）有限元仿真模型校准（用模态测试验证仿真中的边界约束假设）； b)高层建筑抗震仿真的阻尼参数修正。 |
识别动态性能，支撑工程应用 | 通过提取模态频率、阻尼比、模态振型等模态参数，从本质上刻画结构振动规律：模态频率判断共振风险，阻尼比反映能量损耗速率，模态振型揭示振动形变与能量传递分布，支撑结构设计优化、故障诊断、振动噪声控制及仿真验证，解决工程中动态性能相关的关键问题。 | a)航天器发射前共振风险评估（用模态频率避开火箭发动机激励频率）； b)汽车底盘振动衰减分析（用阻尼比优化减振设计）； c)土木工程：桥梁健康监测（通过模态参数变化预警裂缝、腐蚀）。 |
支撑基础科学研究 | 为基础学科探索结构动态行为本质、验证理论假说、构建动态特性数据库提供关键手段，推动材料动力学、结构力学、声学等领域的理论创新与规律发现。 | a)材料科学：新型轻质复合材料（如碳纤维复合材料）振动阻尼特性基础研究（通过模态测试建立材料动态参数数据库）； b)结构力学：非线性振动理论验证（用模态测试观测复杂结构的非线性动态响应，验证理论模型）； c)声学基础研究：生物结构（如昆虫翅膀）振动发声机制分析（用模态振型揭示振动与声辐射的关联）。 |
ATOM最小二乘复频域法识别模态
最小二乘复频域法是一种基于频响函数的模态识别方法，通过传递函数可以测出。
对于一个多输入多输出的系统，假设分析频段内的模态总数为，分析频率段内第阶模态的极点，为第模态在某一输入下的模态参与因子，由于在物理世界中，任何物体均可视为是无限阶自由度的，因此在分析频率带以外还存在无限多个模态，由于传递函数是所有模态影响的结果，所以需要考虑分析频率带以外的模态对传函的影响，引入分析频带外还存在模态的下残余项，及分析频带外的上残余项，分别代表分析频率带以外模态的影响，则可以写成如下形式：
公式7
式中：
为频响函数矩阵；
为分析频段内的模态总数;
为极点，，，为阻尼；
为待求的第阶模态振型列向量；
为模态参与因子行向量；
为的共轭转置；
为分析频带外下残余项矩阵；
为分析频带外的上残余项矩阵；
在试验模态测试分析的工作中，可能通过测试得到，可以通过计算得到，因此通过矩阵方程求解振型，我们将传函分解成实部和虚部两个部分，其中传函实部的计算公式推导后如下所示：
公式8
式中的是模态阶次，是输出点，是第阶模态在点的函数传递。对于一个个输入、个输出的多输入多输出系统，当取遍1~时，令：矩阵为，矩阵为，为，矩阵为，单位矩阵1为，
参考如下9和10定义虚部的及，则可得到实部和虚部的简化式：
实部为：
公式9
虚部为：
公式10
依据公式7和公式8，就可以求得多入多输出系统模态振型的最小二乘解，从而得到模态振型的结果，进而得到模态参数。
由于篇幅较长，我们将分上下两篇为大家介绍，以上就是我们在《（上篇）》中分享的内容，对于更关键的核心亮点，我们将在《（下篇）》中详细揭晓。敬请关注！
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